dot product cross product and triple product

先给出已知条件，两个列向量$a= (x_1,y_1, z_1), w=(x_2,y_2, z_2)$。

点积(dot product)

定义

点积，又叫数量积，定义为$a\cdot b = x_1 x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$。
另一种定义方式是$a\cdot b = \vert a \vert \vert b \vert cos <a, b>$`
这两种定义方式实际上是一样的：

叉积(cross product)

定义

叉积，又叫向量积，定义为$\vert a\times b \vert = \vert a \vert \vert b \vert sin <a, b>$，最后得到一个方向和$a,b$都正交的向量，并且方向符合右手规则。向量积的大小等于$a,b$构成的平行四边形的面积。

属性

1. $a\times b, b\times a$是方向相反的
2. $a,b$的叉积垂直于$a$和$b$
3. 任意向量和它自己的叉积为$0$。

混合积(trple product)

定义

混合积定义为$(a\times b) \cdot c$，它的绝对值等于以$a,b,c$三个向量构成的形状的体积。

属性

向量$a\times b$是一个向量，$a\times b$的大小相当于底面积，方向垂直于$a,b$所有的平面，再和$c$点乘，乘上了$c$投影到$a,b$点乘结果所在的直线上，相当于乘上了高。

参考文献

1.MIT线性代数公开课