引言
数学的空间是研究工作的对象和遵循的规则。
线性空间：加法和数乘
拓扑空间：距离，范数和内积。
距离
距离是用来衡量两个点有多“近”的。
距离定义
$X$是一非空集合，任给一对这一集合中的元素$x,y$，都会给定一个实数$d(x,y)$与它们对应，并且这个实数满足以下条件：
- $d(x,y)\ge 0, d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$；
- $d(x,y) = d(y,x)$；
- $d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$。
则$d(x,y)$为这两点$x$和$y$之间的距离。
示例
向量的距离
$d_1(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)2+\cdots,(x_n-y_n)n}$
$d_2(x,y) = max{|x_1-y_1|,\cdots,|x_n,y_n|}$
$d_3(x,y) = |x_1-y_1|+\cdots+|x_n,y_n|$
曲线的距离
$d_1(f,g) = \int_ab(f(x)-g(x))2 dx$
$d_2(f,g) = max_{a\le x\le b}|f(x)-f(y)|$
$d_3(f,g) = \int_ab(f(x)-g(x))k dx$
线性空间
向量的加法和数乘
线性空间的八个性质
加法的交换律和结合律，零元，负元，数乘的交换律，单位一，数乘与加法的结合律。
范数（向量到零点的距离）定义
如果$\Vert x\Vert $是$R^n$上的范数（$x$是向量），那么它需要满足以下条件：
- $\Vert x\Vert \ge 0, \forall x\in R, \Vert x\Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0$；
- $\Vert \alpha x\Vert = |\alpha|\Vert x\Vert, \forall \alpha \in R, x\in R^n$
- $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert + \Vert y\Vert , \forall x,y\in R$
可以看成是点到零点距离多了条件2。
示例
$\Vert x\Vert_2 = \sqrt{x_12+\cdots,x_nn}$
$\Vert x\Vert_{\infty} = max{|x_1|,\cdots,|x_n|}$
$\Vert x\Vert_1 = |x_1|+\cdots+|x_n|$
距离和范数的关系
由范数可以定义距离。$d(x,y) = \Vert x-y\Vert$。
但是由距离不一定可以定义范数。如$\Vert x\Vert = d(0,x)$,但是$\Vert \alpha x\Vert = d(0, \alpha x) \ne |\alpha|\Vert x\Vert $。
赋范空间和度量空间
赋予范数的集合称为赋范空间。
距离的集合称为度量空间。
线性赋范空间和线性度量空间
赋予范数加上线性空间称为线性赋范空间。
距离加上线性空间称为线性度量空间。
内积
引言
赋范空间有向量的模长，即范数。但是范数只有大小，没有夹角，所以就引入了内积。
定义
给定$(x,y)\in R$,如果它满足：
- 对称性；
- 对第一变元的线性性；
- 正定性。
那么就称$(x,y)$为内积。
示例
- $(x,y) = \sum_{n=1}^nx_ny_n$。
- $(f,g) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)dx$。
内积和范数的关系
- 内积可以导出范数
- 范数不能导出距离
内积空间
在线性空间上定义内积，这个空间称为内积空间。
常见的欧几里得空间就是一个内积空间，内积空间是一个抽象的空间，而欧几里得空间是一个具象化了的内积空间。
希尔伯特引入了无穷维空间并定义了内积，其空间称为内积空间，再加上完备性，称为希尔伯特空间。完备性是取极限之后还在这个空间内。
完备的赋范空间称为巴拿赫空间。
拓扑空间
欧几里得几何学需要定义内积，连续的概念不需要内积，甚至不需要距离。
定义
给定一个集合$X$,$\tau$是$X$的一系列子集，如果$\tau$满足以下条件：
- 空集(empty set)和全集X都是$\tau$的元素;
- $\tau$中任意元素的并集(union)仍然是$\tau$的元素;
- $\tau$中任意有限多个元素的交集(intersection)仍然是$\tau$中的元素。
则称$\tau$是$X$上的一个拓扑。
距离，范数和内积之间的关系
距离$\gt$范数$\gt$内积